아르틴 상호 법칙

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 아르틴 사상
- 2.2. 정의 모듈러스와 인도자
3. 역사
4. 예시
- 4.1. 이차 수체
- 4.2. 원분체
5. 다른 관점에서의 표현
- 5.1. 전역 상호 법칙 (Global reciprocity law)
- 5.2. 국소 상호 법칙 (Local reciprocity law)
6. 중요성 및 응용
7. 코호몰로지적 해석
8. 이차 상호 법칙과의 관계
참조

1. 개요

아르틴 상호 법칙은 대수적 수론의 중요한 정리로, 유한 아벨 확대와 관련된 갈루아 군과 분수 아이디얼 군 사이의 관계를 설명한다. 이 정리는 전역 체의 절대 갈루아 군의 아벨화를 설명하고, 하세 국소-전역 원리와 프로베니우스 원소를 기반으로 한다. 아르틴 사상을 통해 구체적으로 표현되며, 이차 수체와 원분체 등 다양한 예시를 통해 이해할 수 있다. 또한, 아르틴 상호 법칙은 아르틴 L-함수와 헤케 L-함수 사이의 관계를 설정하며, 랑글란즈 프로그램과도 연관된다.

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아르틴 상호 법칙

2. 정의

$K$ 가 대수적 수체이고, $L/K$ 가 유한 아벨 확대라고 하자. $K$ 의 정수환 $\mathcal O_K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak p\subset\mathcal O_K$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak p$ 가 $L/K$ 에서 분기(ramified^영어)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

: $\left(\frac{L/K}{\mathfrak p}\right)\in\operatorname{Gal}(L/K)$

가 존재한다. $\mathfrak p$ 위의, $\mathcal O_L$ 의 모든 소 아이디얼 $\mathfrak P$ 에 대하여,

: $\left(\frac{L/K}{\mathfrak p}\right)(\mathfrak P)=\mathfrak P$

: $\left(\frac{L/K}{\mathfrak p}\right)(\alpha)\equiv\alpha^{N_{L/K}(\mathfrak p)}\pmod\mathfrak P$

를 만족한다.

'''아르틴 상호 법칙'''은 아르틴 사상의 핵이 $i(K_{\mathfrak m,1})\operatorname N_{L/K}(I^{\mathfrak m}_L)$ 의 형태로 됨을 보여준다. 여기서 $K_{\mathfrak m,1}$ 은 $\mathfrak m$ 에 대한 반직선이며, $\operatorname N_{L/K}$ 는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를 정의 모듈러스라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 '''인도자'''라고 한다.

2. 1. 아르틴 사상

K

가 대수적 수체이고,

L/K

가 유한 아벨 확대라고 하자.

K

의 정수환

\mathcal O_K

의 소 아이디얼

\mathfrak p\subset\mathcal O_K

에 대하여, 만약

\mathfrak p

가

L/K

에서 분기되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

:

\left(\frac{L/K}{\mathfrak p}\right)\in\operatorname{Gal}(L/K)

가 존재한다.

S

가

L/K

에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면,

S

에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군

I^S_K

에서 갈루아 군

\operatorname{Gal}(L/K)

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 '''아르틴 사상'''(Artin map^영어)이라고 한다.

:

\left(\frac{L/K}{\cdot}\right)\colon I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K)

:

\prod_{i=1}^m\mathfrak p_i^{n_i}\mapsto\prod_{i=1}^m\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}_i}\right)^{n_i}

아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 핵이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스

\mathfrak c

에 대하여, 군 준동형

:

I^S_K\to\operatorname{Gal}(L/K)

의 핵은 다음과 같은 꼴이다.

:

i(K_{\mathfrak m,1})\operatorname N_{L/K}(I^{\mathfrak m}_L)

여기서

K_{\mathfrak m,1}

은

\mathfrak m

에 대한 반직선이며,

\operatorname N_{L/K}

는 체 노름이다.

2. 2. 정의 모듈러스와 인도자

L/K

가 대수적 수체

K

의 유한 아벨 확대일 때, 어떤 모듈러스

\mathfrak c

에 대하여, 아르틴 사상의 핵은 다음과 같은 꼴로 주어진다.

:

i(K_{\mathfrak m,1})\operatorname N_{L/K}(I^{\mathfrak m}_L)

여기서

K_{\mathfrak m,1}

은

\mathfrak m

에 대한 반직선이며,

\operatorname N_{L/K}

는 체 노름이다.

이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를

L/K

의 '''정의 모듈러스'''라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을

L/K

의 '''인도자'''(引導者, conductor^영어)라고 한다.

3. 역사

에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 아르틴 상호 법칙을 증명하였다.^[21]^[22]^[23]

4. 예시

$d\neq1$ 을 제곱 인수를 갖지 않는 정수라 하고, K = '''Q''', $\scriptstyle L=\mathbf{Q}(\sqrt{d})$ 라 하면, Gal(L/'''Q''')은 {±1}과 동일시된다. '''Q''' 위 L의 판별식 Δ는 d ≡ 1 (mod 4)이면 d, 그렇지 않으면 4d가 된다. 따라서 아르틴 사상은 Δ를 나누지 않는 소수 p에 대해 다음과 같이 정의된다.

: $p\mapsto\left(\frac{\Delta}{p}\right)$

여기서 $\left(\frac{\Delta}{p}\right)$ 는 크로네커 기호|Kronecker symbol^영어이다^[17]。

p와 ℓ을 서로 다른 홀수 소수라 하고, ℓ* = (−1)^(ℓ−1)/2ℓ (항상 1 (mod 4)이다)라 하면, 이차 상호 법칙은 다음 관계를 말한다.

: $\left(\frac{\ell^\ast}{p}\right)=\left(\frac{p}{\ell}\right)$

이차 상호 법칙과 아르틴 상호 법칙의 관계는 이차체 $\scriptstyle F=\mathbf{Q}(\sqrt{\ell^\ast})$ 와 원분체 $\scriptstyle L=\mathbf{Q}(\zeta_\ell)$ 을 연구함으로써 얻어진다^[17] . F는 L의 부분체이다. H = Gal(L/F) 및 G = Gal(L/'''Q''')라 하면, Gal(F/'''Q''') = G/H이다. G/H는 차수가 2이므로, 부분군 H는 G=(''''Z'''/ℓ'''Z''')^× 에서 제곱원 전체가 이루는 부분군이다. 아르틴 기호의 기본적인 성질에 의해, ℓ과 서로소인 아이디얼 (n)에 대해, 다음이 성립한다.

: $\left(\frac{F/\mathbf{Q}}{(n)}\right)=\left(\frac{L/\mathbf{Q}}{(n)}\right)\text{ (mod }H).$

특히 n = p로 놓으면, $\left(\frac{\ell^\ast}{p}\right)=1$ 인 것과, H 내에서 p (mod ℓ)인 것, 즉, p가 모듈로 ℓ에서 제곱수인 것은 동치임을 알 수 있다.

4. 1. 이차 수체

이차 수체

L=\mathbb{Q}[\sqrt{m}]

을 생각하자. 여기서

m

은 제곱 인수가 없는 정수이다.

K/\mathbb{Q}

에서 분기되는 소수는 다음과 같다.

만약 $m\equiv1\pmod4$ 인 경우, $p\mid m$ 인 소수 $p$$ 가 분기된다. 이 경우, 판별식은 $\Delta=m$ 이다.
만약 $m\not\equiv1\pmod4$ 인 경우, $p\mid m$ 인 홀수 소수 $p$$ 및 2가 분기된다. 이 경우, 판별식은 $\Delta=4m$ 이다.

이 경우, 갈루아 군은

:

\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\sqrt{m}]/\mathbb{Q})=\{+1,-1\}

이다. 아르틴 사상은

m

의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.

:

\left(\frac{m}{\cdot}\right)\colon p\mapsto\left(\frac{\Delta}{p}\right)

d\neq1

이 제곱 인수가 없는 정수이고,

K=\mathbb{Q}

,

L=\mathbb{Q}(\sqrt{d})

이면,

\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})

는 {±1}로 식별될 수 있다.

\mathbb{Q}

에 대한 ''L''의 판별식 Δ는 ''d'' ≡ 1 (mod 4)이면 d, 그렇지 않으면 4d이다. 아르틴 사상은 Δ를 나누지 않는 소수 p에 대해 다음과 같이 정의된다.

:

p\mapsto\left(\frac{\Delta}{p}\right)

여기서

\left(\frac{\Delta}{p}\right)

는 크로네커 기호이다.^[9]

L/\mathbb{Q}

의 도플러는 Δ가 양수인지 음수인지에 따라 주 이상 (Δ) 또는 (Δ)∞이고,^[10] Δ와 소수인 이상 (''n'')에 대한 아르틴 사상은 크로네커 기호

\left(\frac{\Delta}{n}\right)

에 의해 주어진다. 이것은

\left(\frac{\Delta}{p}\right)

가 1 또는 −1인지에 따라 소수 ''p''가 ''L''에서 분할되거나 불활성 상태임을 보여준다.

4. 2. 원분체

원분체

L=\mathbb{Q}[\zeta_m]

을 생각하자. 여기서

m

은 소수이거나 4의 배수이다. 그렇다면 갈루아 군은 다음과 같다.

:

\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta_m]/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/(m))^\times

여기서

(\mathbb{Z}/(m))^\times

은

\mathbb{Z}/(m)

의 가역원군이다. 구체적으로,

a \in (\mathbb{Z}/(m))^\times

은 갈루아 군의 원소

\zeta \mapsto \zeta_m^a

에 대응된다.

이 경우,

m

의 인수가 아닌 소수

p

에 대하여, 아르틴 사상은 다음과 같다.

:

(\bmod m) \colon p \mapsto (p \bmod m) \in (\mathbb{Z}/(m))^\times

1보다 큰 정수

m

이 홀수이거나 4의 배수이고,

\zeta_m

을 원시

m

제곱근,

L = \mathbb{Q}(\zeta_m)

을

m

차 원분체라고 하자.

\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})

는 σ를 다음 규칙에 따라

a_\sigma

로 보내는 방식으로

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}

와 동일시될 수 있다.

:

\sigma(\zeta_m)=\zeta_m^{a_\sigma}.

L/\mathbb{Q}

의 도플러는

(m)

∞이고,^[11]

m

과 서로소인 소 아이디얼

(n)

에 대한 아르틴 사상은 단순히

(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}

에서

n

(

\bmod m

)이다.^[12]

5. 다른 관점에서의 표현

아르틴 상호 법칙은 전역체와 국소체의 개념을 사용하여 설명할 수 있다. 전역 상호 법칙은 전역체의 갈루아 확대에서 '전역 기호 사상'의 존재를, 국소 상호 법칙은 국소체에서 '국소 아르틴 기호'라는 동형 사상의 존재를 설명한다. 이러한 개념들은 국소류체론과 전역체의 이론에서 중요한 역할을 한다.

5. 1. 전역 상호 법칙 (Global reciprocity law)

Global reciprocity law^영어인 전역 상호 법칙은 전역체의 갈루아 확대

L/K

에 대해, 표준 동형 사상인 '전역 기호 사상'의 존재를 설명한다.^[2]^[3]

:

\theta: C_K/{N_{L/K}(C_L)} \to \operatorname{Gal}(L/K)^{\text{ab}}

여기서

C_L

은

L

의 이델류 군이며,

\text{ab}

는 군의 아벨화를,

\operatorname{Gal}(L/K)

는

K

위의

L

의 갈루아 군을 나타낸다.

전역 기호 사상

\theta

는 '국소 아르틴 기호', '국소 상호 사상', 또는 '노름 잉여 기호'라고 불리는 사상들을 조합하여 정의된다.^[4]^[5]

:

\theta_v: K_v^{\times}/N_{L_v/K_v}(L_v^{\times}) \to G^{\text{ab}}

이는

K

의 서로 다른 자릿값

v

에 대해 정의되며, 이델류 군의

v

성분에 대한 국소 사상

\theta_v

로 주어진다.

\theta_v

는 동형 사상이며, 국소류체론의 주요 정리인 '국소 상호 법칙'의 내용이다.

아르틴 사상은 소 아이디얼과 프로베니우스 원소를 사용하여 구체적으로 기술된다.

\mathfrak{p}

를 ''K''의 소 아이디얼이라고 하면,

\mathfrak{p}

위의 소 아이디얼

\mathfrak{P}

의 분해군은 갈루아군이 아벨적이므로

\mathfrak{P}

의 선택에 관계없이 Gal(''L''/''K'')에서 같다.

\mathfrak{p}

가 ''L''에서 비분기이면, 분해군

D_\mathfrak{p}

는 잉여체

\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}

의 확대

\mathcal{O}_{L,\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}

의 갈루아군과 표준적으로 동형이다. 따라서,

\mathrm{Frob}_\mathfrak{p}

또는

\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)

로 쓰이는 Gal(''L''/''K'')의 프로베니우스 원소를 잉여체의 갈루아군의 프로베니우스 원소의 끌어올림으로 표준적으로 정의할 수 있다.

''L''/''K''의 '''아르틴 기호''' (또는 '''아르틴 사상''', '''대역 상호 사상''')는 프로베니우스 원소의 정의를 선형적으로 확장한 것으로, 소 아이디얼과 Δ의 분수 아이디얼 군

I_K^\Delta

위에 정의된다. 여기서 Δ는 ''L''/''K''의 상대 판별식이다.

:

\begin{matrix}\left(\frac{L/K}{\cdot}\right):&I_K^\Delta&\longrightarrow&\mathrm{Gal}(L/K)\\&\displaystyle{\prod_{i=1}^m\mathfrak{p}_i^{n_i}}&\mapsto&\displaystyle{\prod_{i=1}^m\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}_i}\right)^{n_i}.}\end{matrix}

'''아르틴 상호 법칙''' (혹은 '''대역 상호 법칙''')은

K

의 모듈러스

\mathbf{c}

가 존재하여, 아르틴 사상이 동형

:

I_K^\mathbf{c}/\iota(K_{\mathbf{c},1})\operatorname{N}_{L/K}(I_L^\mathbf{c})\overset{\sim}\operatorname{Gal}(L/K)

을 일으킨다는 법칙이다. 여기서

K_{\mathbf{c},1}

는

\mathbf{c}

를 법으로 하는 사선 전체이고,

\iota:K^{\times}\to I_K

는 단항 분수 아이디얼로 보내는 사상,

N_{L/K}

는

L/K

에 부수하는 노름 사상,

I_L^\mathbf{c}

는

L

의

\mathbf{c}

와 소인 분수 아이디얼이다. 그러한 모듈러스

\mathbf{c}

는 ''

L/K

의 정의 모듈러스''라고 불린다. 최소 정의 모듈러스를

L/K

의 도수라고 하며, 전형적으로

\mathfrak{f}(L/K)

로 쓴다.

5. 2. 국소 상호 법칙 (Local reciprocity law)

전역체의 갈루아 확대

L/K

에서

K

의 서로 다른 자릿값

v

에 대해 정의되는

\theta_v: K_v^{\times}/N_{L_v/K_v}(L_v^{\times}) \to G^{\text{ab}}

는 '''국소 아르틴 기호''', '''국소 상호 사상''' 또는 '''노름 잉여 기호'''라고 불린다.^[4]^[5] 이 사상

\theta_v

는 동형 사상이며, 이것이 국소류체론의 주요 정리인 ''국소 상호 법칙''의 내용이다.

6. 중요성 및 응용

아르틴 상호 법칙은 전역체의 갈루아 군의 아벨화에 대한 설명을 제공하며, 하세 국소-전역 원리와 프로베니우스 원소를 기반으로 한다. 이는 다카기 존재 정리와 함께 전역체의 산술적 측면에서 아벨 확대를 설명하고, 비아르키메데스 자리의 동작을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

아르틴 상호 법칙은 아르틴 L-함수가 유리형 함수임을 증명하고, 체보타레프 밀도 정리를 증명하는 데 사용된다.^[7] 또한, 1927년에는 이 법칙을 사용하여 대수적 수체의 아이디얼 유효류에 대한 주요화 문제를 유한 비가환군의 이전 핵을 결정하는 군론적 과제로 변환했다.^[8]

6. 1. 유체론의 주요 정리

아르틴 상호 법칙은 전역체 ''K''의 절대 갈루아 군의 아벨화를 설명하며, 이는 하세 국소-전역 원리와 프로베니우스 원소를 기반으로 한다. 다카기 존재 정리와 함께, ''K''의 산술적 측면에서 ''K''의 아벨 확대를 설명하고, 아벨 확대에서 비아르키메데스 자리가 어떻게 작동하는지 이해하는 데 사용된다. 따라서 아르틴 상호 법칙은 전역 유체론의 주요 정리 중 하나로 해석될 수 있다. 이는 아르틴 L-함수가 메로모르피즘임을 증명하고, 체보타레프 밀도 정리를 증명하는 데에도 사용될 수 있다.^[7]

1927년 일반 상호 법칙 발표 2년 후, 아르틴은 I. 슈르의 이전 준동형을 재발견하고, 상호 법칙을 사용하여 대수적 수체의 아이디얼 유효류에 대한 주요화 문제를 유한 비가환군의 이전 핵을 결정하는 군론적 과제로 변환했다.^[8]

6. 2. L-함수와의 관계

아르틴 상호 법칙은 전역체 ''K''의 절대 갈루아 군의 아벨화에 대한 설명을 암시하며, 이는 하세 국소-전역 원리와 프로베니우스 원소의 사용을 기반으로 한다. 다카기 존재 정리와 함께, ''K''의 산술적 측면에서 ''K''의 아벨 확대를 설명하고, 아벨 확대에서의 비아르키메데스 자리의 동작을 이해하는 데 사용된다. 따라서 아르틴 상호 법칙은 전역 유체론의 주요 정리 중 하나로 해석될 수 있다. 이는 아르틴 L-함수가 유리형 함수임을 증명하는 데 사용될 수 있으며, 체보타레프 밀도 정리를 증명하는 데에도 사용될 수 있다.^[7]

6. 3. 랑글란즈 프로그램과의 연관성

랑글란즈 프로그램으로 이어지는 아르틴 상호 법칙의 또 다른 표현 방식은 수체의 아벨 확대와 관련된 아르틴 L-함수를 이데알류군의 지표와 관련된 헤케 L-함수와 연결하는 것이다.^[13]

수체 ''K''의 헤케 지표(괴센캐릭터)는 ''K''의 이데알류군의 준지표로 정의된다. 로버트 랑글란즈는 헤케 지표를 ''K''의 아델환에 대한 환원대수군 ''GL''(1) 위의 자동형 형식으로 해석했다.^[14]

E/K

를 갈루아 군 ''G''를 갖는 아벨 갈루아 확대라고 하자. 그러면 임의의 지표

\sigma: G \to \Complex^{\times}

(즉, 군 ''G''의 1차원 복소 군 표현)에 대해, 다음을 만족하는 헤케 지표

\chi

가 존재한다.

:

L_{E/K}^{\mathrm{Artin}}(\sigma, s) = L_{K}^{\mathrm{Hecke}}(\chi, s)

여기서 좌변은 지표 σ를 갖는 확대와 관련된 아르틴 L-함수이고, 우변은 χ와 관련된 헤케 L-함수이다.^[14]

아르틴 상호 법칙을 ''L''-함수의 등식으로 공식화하면, 직접적인 대응은 여전히 부족하지만, ''n''차원 표현으로의 일반화를 공식화할 수 있다.

7. 코호몰로지적 해석

전역 상호 법칙의 코호몰로지 증명은 먼저

: $(\operatorname{Gal}(K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_L)$

는 아르틴과 테이트의 의미에서 류군 형성을 구성한다.^[6] 그런 다음 다음을 증명한다.

: $\hat{H}^{0}(\operatorname{Gal}(L/K), C_L) \simeq\hat{H}^{-2}(\operatorname{Gal}(L/K), \Z),$

여기서 $\hat{H}^{i}$ 는 테이트 코호몰로지 군을 나타낸다. 코호몰로지 군을 계산하면 $\theta$ 가 동형사상임을 알 수 있다.

8. 이차 상호 법칙과의 관계

두 소수 p와 ℓ^영어이 서로 다를 때, 편의상 ℓ*^영어 = (−1)^{(ℓ^영어−1)/2}ℓ^영어라고 하면(이는 항상 1 (mod 4)이다), 이차 상호 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\left(\frac{\ell^*}{p}\right)=\left(\frac{p}{\ell}\right).$

이차 상호 법칙과 아르틴 상호 법칙 사이의 관계는 이차체 와 원분체 를 통해 설명할 수 있다.^[9] 는 의 부분체이므로, 이고 이면, 이다. 후자는 차수가 2이므로, 부분군 는 의 제곱수 그룹이어야 한다. 아르틴 기호의 기본적인 성질에 의해, ℓ^영어과 서로소인 모든 아이디얼 (''n'')에 대해,

: $\left(\frac{F/'''Q'''}{(n)}\right)=\left(\frac{L/'''Q'''}{(n)}\right)pmod H.$

가 성립한다. ''n'' = ''p''일 때, 이는 인 것은 ''p''가 ℓ^영어을 법으로 하는 경우에만, 즉 ''p''가 ℓ^영어을 법으로 하는 제곱수일 때에만 해당됨을 보여준다.^[17]

참조

_[1] 서적 History of Class Field Theory Academic Press
_[2] 서적
_[3] 서적 Algebraische Zahlentheorie Springer
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적 Algebraische Zahlentheorie Springer
_[8] 간행물 Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz 1929-12
_[9] harvnb
_[10] harvnb
_[11] harvnb
_[12] harvnb
_[13] 웹사이트 Class Field Theory http://www.jmilne.or[...]
_[14] 간행물 Automorphic forms on adèle groups Princeton University Press
_[15] 서적 History of Class Field Theory Academic Press
_[16] 간행물 Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz 1929-12
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_[18] harvnb
_[19] 웹사이트 Class Field Theory http://www.jmilne.or[...]
_[20] 간행물 Automorphic Forms on Adele Groups Princeton University Press
_[21] 저널
_[22] 저널
_[23] 저널

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